그림과 같은 구면렌즈에서는 근축광선과 원축광선의 초점이 다르기 때문에 구면수차가 발생한다. 이는 렌즈의 중심부의 곡률과 바깥부분의 곡률이 다르기 때문에 입사하는 평행광이 법선과 이루는 각도가 다르기 때문에 나타난다. 이로 인해 원축광선은 원축광선보다 가까운 위치에 초점을 맺게 되며 근축광선은 원축보다 먼 점에 초점이 맺히게 된다.
이 때 근축광선과 원축광선의 초점의 위치에 따른 거리는 종구면수차라고 한다. 이 실험에서는 종구면 수차의 관측을 목표로 한다. 종구면수차의 관측을 위하여 지름 1㎜의 핀홀을 사용하여 근축광선의 초점거리를 측정하고 지름 10㎜와 30㎜의 구면수차판을 이용하여 원축광선의 초점거리를 측정한다. 또한 초점거리가 50㎜, 250㎜의 두 렌즈를 이용하여 구면수차를 측정한다.
실험 방법
1. 실험 과정
1) 광학레일 위에 레이저, 줄맞춤 렌즈, 구면수차판(핀홀), 볼록렌즈, 스크린을 위치시킨다.
2) 구면수차판(핀홀)을 줄맞춤 렌즈의 초점거리에 놓아 평행광을 만들며 이로 인해 물체의 거리를 무한대로 만든다.
3) 볼록렌즈를 위치시키고 스크린을 옮겨가면서 구면수차판의 지름을(핀홀Φ1㎜, 핀홀Φ2㎜, Φ10㎜, Φ20㎜)로 바꾸어 가며 측정한다.
4) 초점거리에 따른 볼록렌즈를 바꾸어 가며 측정한다.(50㎜, 250㎜)
5) 이 때 렌즈에서부터 상점의 위치를 초점거리 f라고 한다. 원축광선의 초점거리는 f'으로 하고 근축광선의 초점거리는 f''이라 한다.
실험 결과
1. 결과 분석
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렌즈 |
수차판의 지름 |
초점거리(㎝) |
f''''-f'(㎝) |
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렌즈의 초점거리 50㎜ |
Φ1㎜(f') |
6,5㎝ |
-1.6㎝ |
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Φ2㎜(f'') |
6.3㎝ |
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Φ10㎜(f''') |
5.5㎝ |
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Φ30㎜(f'''') |
4.9㎝ |
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렌즈의 초점거리 250㎜ |
Φ1㎜ |
28.5㎝ |
-1.5㎝ |
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Φ2㎜ |
28.3㎝ |
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Φ10㎜ |
27.6㎝ |
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Φ30㎜ |
27㎝ |
렌즈의 초점거리와 수차판의 지름에 따른 초점거리의 비교
위의 결과를 확인하였을 때 렌즈의 초점거리가 50㎜ 일 경우 f'은 6.5㎝가 나타나는 것을 확인 할 수 있다. 이는 이론상으로 f'이 5㎝에 위치해야 함을 의미한다. 그러나 실험결과에서는 1.5㎝의 오차가 발생하는데 이는 실험과정에서 목측측정으로 평행광을 만들며 또한 렌즈의 곡률이 일정하지 않기 때문으로 확인한다.
렌즈의 초점거리 250㎜에서도 이와 미찬가지로 f'은 28.5㎝가 나타나며 이는 렌즈의 초점거리인 25㎝와는 3.5㎝의 오차가 발생한다. 이 또한 목측측정으로 평행광을 만들고 렌즈의 곡률이 중심부와 측면부가 다르기 때문으로 확인된다. 이러한 오차를 줄이기 위해서는 렌즈를 곡률이 일정하게 만들거나 비구면렌즈로 제작하여 수차를 줄일 수 있을 것으로 확인되며 또한 정확한 평행광을 만들면 오차가 줄여질 것으로 예상된다.
토의 사항
1. 실험 고찰
렌즈의 근축광선에 대한 렌즈 방정식은 다음과 같다.
여기서 s, s'은 물점과 상점까지의 거리이고, r1과 r2는 렌즈의 곡률반경이다. 그러나 근축광선이 아니게 될 경우에는 한 물점에서 나간 광선들이라도 렌즈를 통과한 높이에 따라 상점이 다르게 된다. 렌즈의 중심에서 높이 h를 통과한 광선에 대한 렌즈의 방정식은 다음과 같다.
여기서
과 같다.
이를 통해서 위의 식을 정리하면,
의 식이 나타나게 된다.
이 때 수차량이 초점거리에 비해서 더 작으므로 근사적으로 정리하게 되면
의 식이 나타나게 된다.
여기서 n은 실험에서 사용한 렌즈가 bk7으로 이루어져 있기 때문에 n=1.52가 된다. h는 수차판의 반지름과 같은 것으로 알 수 있는데 근축광선에 대한 렌즈 방정식이기에 Φ30㎜의 수차판의 반지름인 15㎜로 확인 할 수 있다.
이에 종구면수차의 이론값을 구하기 위해 앞의 조건을 대입하여 본다.
➀ 초점거리가 50㎜ 일 때
➁ 초점거리가 250㎜ 일 때
이러한 이론값을 통해 실험의 오차율을 계산하여 본다.
➀ 초점거리가 50㎜ 일 때
➁ 초점거리가 250㎜ 일 때
2. 결론
위의 실험결과값을 통한 오차율의 확인에서 오차율이 차이가 나는 이유는 첫 번째로 평행광 렌즈를 사용하여 평행광을 만들 때 목측측정으로 만들기 때문에 실제로 정확한 평행광인지 확인 하기 힘들기 때문이다. 두 번째로 렌즈를 이용하여 초점거리를 측정하였을 경우에 목측 측정으로 인하여 제대로 측정되지 않았기 때문에 초점거리 측정값의 오차가 발생하기 때문으로 보인다.
이는 피사계 심도와도 관련이 있는데 스크린이 앞뒤로 움직여도 얼마간은 피사계 심도로 인하여 초점이 맞는 것으로 보이기 때문에 정확한 초점거리를 측정하기 힘들다. 구면수차를 줄이기 위한 방법으로는 첫 번째로 비구면렌즈를 사용하는 경우가 있다. 비 구면렌즈를 사용할 경우 구면수차가 발생하는 이유인 렌즈의 곡률이 중심부와 바깥부분이 다르지 않기 때문에 구면수차를 줄일 수 있다.
두 번째 방법으로는 카메라 렌즈의 경우와 같이 렌즈를 한 개를 이용하는 것이 아닌 여러 개를 이용하는 경우가 있다. 예를 들어 카메라 렌즈 중 50㎜ 초점거리를 가지는 렌즈는 4개에서 5개의 렌즈를 조합하여 만들어지게 된다. 이처럼 렌즈를 조합하여 구면수차를 줄일 수 있다. 아래의 사진은 nikkor 50㎜렌즈의 단면도이다. 아래와 같이 렌즈를 조합하여 수차를 줄일 수 있다.
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